设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。 (Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

admin2019-06-28 39

问题设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(

，0)。
(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

选项

答案由(I)知曲线的方程为y=[*]一x²，则y^’=一2x，点P(x，y)=P(x，[*]一x²)，所以在点P处的切线方程为 Y一([*]一x²)=一2x(X一x)，分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为x²+[*]。此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)=[*](4x²+1)²，x＞0。由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S₀，于是题中所求的面积为 S(x)=A(x)一S₀=[*](4x₂+1)²一S₀，求最值点时与S₀无关，而 S^’(x)=[*]，令S^’(x)=0，得x=[*]，S^’(x)＞0。根据极值存在的第一充分条件知，x=[*]是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为 [*]

解析

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考研数学二

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设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。 (Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

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