设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

admin2019-11-25 50

问题设A为n阶矩阵，A₁₁≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A^*b＝0．

选项

答案设非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜＝0，于是A^*b＝A^*AX＝｜A｜X＝0．反之，设A^*b＝0，因为b≠0，所以方程组A^*X＝0有非零解，从而r(A^*)＜n，又A₁₁≠0，所以r(A^*)＝1，且r(A)＝n－1．因为r(A^*)＝1，所以方程组A^*X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，而 A^*A＝0，所以A的列向量组a₁，a₂，…，a_n为方程组A^*X＝0的一组解向量．由A₁₁≠0，得a₂，…，a_n线性无关，所以a₂，…，a_n是方程组A^*X＝0的基础解系．因为A^*b＝0，所以b可由a₂，…，a_n线性表示，也可由a₁，a₂，…，a_n线性表示，故r(A)＝r([*])＝n－1＜n，即方程组AX＝b有无穷多个解．

解析

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考研数学三

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设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

考研数学三

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任意a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．

求定积分的值．

设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．

设A=[α1，α2，α3]是3阶矩阵，且|A|=4，若B=[α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3]，则|B|=______．

设A，B是任意两个事件，且AB，P(B)＞0，则必有()

微分方程y"+2y’+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()

设A是5×4矩阵，r(A)=4，则下列命题中错误的为()。

①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A|B)≤r(A)+r(B)．

以下3个命题：①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为()

设D是有界闭区域，下列命题中错误的是

Someschoolswillhavetomake________inagreementwiththenationalsocialreform.

《难经经释》说：“邪扶生气而来，虽进而易退”，是指()(2005年第3题)

()是设备工程合同索赔依据的特征。

企业在年度中间合并、分立、终止时,投资者应当在停止生产、经营之日起()日内,向主管税务机关办理当期个人所得税汇算清缴。

下列情况中，可以越级行文的有()。

美国科学家发现，雄性非洲慈鲷鱼能通过观察其他雄性成员在抢占地盘争斗中的表现而评估对手的实力，在加入争斗时总是挑战那些最弱的对手。这是科学家首次发现鱼类具有这种推理能力。由此，可以推知()。

设f(x)=则f{f[f(x)]}等于()

若有以下说明和定义fun(intC){…}main(){int(A)()＝fun，*b()，w[10]，c；┇}在必要的赋值之后，对fun函数的正确调用语句是()

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求定积分的值．

设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．

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微分方程y"+2y’+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()

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①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(A|B)≤r(A)+r(B)．

以下3个命题：①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为()

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美国科学家发现，雄性非洲慈鲷鱼能通过观察其他雄性成员在抢占地盘争斗中的表现而评估对手的实力，在加入争斗时总是挑战那些最弱的对手。这是科学家首次发现鱼类具有这种推理能力。由此，可以推知()。

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