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设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明:ATA的特征值全大于零.
设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明:ATA的特征值全大于零.
admin
2019-11-25
50
问题
设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明:A
T
A的特征值全大于零.
选项
答案
首先A
T
A为实对称矩阵,r(A
T
A)=n,对任意的X>0, X
T
(A
T
A)X=(AX)
T
(AX),令AX=a,因为r(A)=n,所以a≠0,所以 (AX)
T
(AX)=a
T
a=||a||
2
>0,即二次型X
T
(A
T
A)X是正定二次型,A
T
A为正定矩阵, 所以A
T
A的特征值全大于零.
解析
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考研数学三
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