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设A,B为n阶矩阵,则如下命题: ①若A2~B2,则A~B; ②若A~B且A,B可逆,则A-1+A2~B-1+B2; ③若A,B特征值相同,则A~B; ④若A~B且A可相似对角化,则B可相似对角化,其中正确的命题为( ).
设A,B为n阶矩阵,则如下命题: ①若A2~B2,则A~B; ②若A~B且A,B可逆,则A-1+A2~B-1+B2; ③若A,B特征值相同,则A~B; ④若A~B且A可相似对角化,则B可相似对角化,其中正确的命题为( ).
admin
2021-01-09
66
问题
设A,B为n阶矩阵,则如下命题:
①若A
2
~B
2
,则A~B;
②若A~B且A,B可逆,则A
-1
+A
2
~B
-1
+B
2
;
③若A,B特征值相同,则A~B;
④若A~B且A可相似对角化,则B可相似对角化,其中正确的命题为( ).
选项
A、①③
B、①②
C、②③
D、②④
答案
D
解析
取
,因为A
2
=B
2
=O,所以A
2
~B
2
,
因为r(A)=1≠r(B)=0,所以A与B不相似,则①不正确;
因为A~B,所以存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP=B,
从而P
-1
A
-1
P=B
-1
且P
-1
A
2
P=B
2
,于是P
-1
(A
-1
+A
2
)P=B
-1
+B
2
,
即A
-1
+A
2
~B
-1
+B
2
,则②正确;
设
,显然A,B特征值相同,而r(A)≠r(B),故A与B不相似,则③不正确;
设A~B,即存在可逆阵P
1
,使得P
1
-1
AP
1
=B且A,B的特征值相同,设其为λ
1
,…,λ
n
,
因为A可相似对角化,所以存在可逆阵P
2
,使得
P
-1
AP
2
=
,即A=P
2
P
2
-1
,
于是A=P
1
BP
-1
=P
2
P
2
-1
,即
P
2
-1
BP
1
-1
P
2
=
,或(P
1
-1
P
2
)
-1
BP
1
-1
P
2
=
故B可相似对角化,则④正确,应选(D).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6J84777K
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考研数学二
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