2. 考研
  3. 设A，B为n阶矩阵，则如下命题： ①若A2～B2，则A～B； ②若A～B且A，B可逆，则A-1+A2～B-1+B2； ③若A，B特征值相同，则A～B； ④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化，其中正确的命题为( )．

设A，B为n阶矩阵，则如下命题： ①若A2～B2，则A～B； ②若A～B且A，B可逆，则A-1+A2～B-1+B2； ③若A，B特征值相同，则A～B； ④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化，其中正确的命题为( )．

admin2021-01-09  48
问题 设A，B为n阶矩阵，则如下命题：  
①若A2～B2，则A～B；  
②若A～B且A，B可逆，则A-1+A2～B-1+B2；  
③若A，B特征值相同，则A～B；   
④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化，其中正确的命题为(  )．
选项 A、①③
B、①②
C、②③
D、②④
答案D
解析 取，因为A2=B2=O，所以A2～B2，
因为r(A)=1≠r(B)=0，所以A与B不相似，则①不正确；
因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，
从而P-1A-1P=B-1且P-1A2P=B2，于是P-1(A-1+A2)P=B-1+B2，
即A-1+A2～B-1+B2，则②正确；
设，显然A，B特征值相同，而r(A)≠r(B)，故A与B不相似，则③不正确；
    设A～B，即存在可逆阵P1，使得P1-1AP1=B且A，B的特征值相同，设其为λ1，…，λn，
    因为A可相似对角化，所以存在可逆阵P2，使得
P-1AP2=，即A=P2P2-1，
于是A=P1BP-1=P2P2-1，即
P2-1BP1-1P2=，或(P1-1P2)-1BP1-1P2=
故B可相似对角化，则④正确，应选(D)．
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考研数学二

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