设函数f(x)的二阶导数f"(x)在[2.4]上连续,且f(3)=0.试证:在(2.4)上至少存在一点ξ使得f”(ξ)=3∫24f(t)dt.

admin2022-09-05 97

问题设函数f(x)的二阶导数f"(x)在[2.4]上连续,且f(3)=0.试证:在(2.4)上至少存在一点ξ使得f”(ξ)=3∫₂⁴f(t)dt.

选项

答案设F(x)=∫₃^xf(t)dt，F(3)=0,F’(3)=F(3)=0 F(x)在x=3展为麦克劳林公式得 F(x)=F(3)+F’(3)(x－3)+[*](x－3)² 其中ξ介于x与3之间令x=2,[*] [*] ②－①得 ∫₂⁴f(t)dt=F(4)－F(2)=[*][f"(ξ₁)+f"(ξ₂)] 由f"(x)的连续性，f"(x)在闭区间[ξ₁，ξ₂]上存在最大值M、m,使m≤[*]≤M 再由介值定理存在ξ∈[ξ₁，ξ₂][*](2,4)使得 [*]

解析

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