2. 考研
  3. 设函数f(x)的二阶导数f"(x)在[2.4]上连续,且f(3)=0.试证:在(2.4)上至少存在一点ξ使得f”(ξ)=3∫24f(t)dt.

设函数f(x)的二阶导数f"(x)在[2.4]上连续,且f(3)=0.试证:在(2.4)上至少存在一点ξ使得f”(ξ)=3∫24f(t)dt.

admin2022-09-05  105
问题 设函数f(x)的二阶导数f"(x)在[2.4]上连续,且f(3)=0.试证:在(2.4)上至少存在一点ξ使得f”(ξ)=3∫24f(t)dt.
选项
答案设F(x)=∫3xf(t)dt，F(3)=0,F’(3)=F(3)=0 F(x)在x=3展为麦克劳林公式得 F(x)=F(3)+F’(3)(x－3)+[*](x－3)2 其中ξ介于x与3之间 令x=2,[*] [*] ②－①得 ∫24f(t)dt=F(4)－F(2)=[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)] 由f"(x)的连续性，f"(x)在闭区间[ξ1，ξ2]上存在最大值M、m,使m≤[*]≤M 再由介值定理存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](2,4)使得 [*]
解析
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考研数学三

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