设级数(an－an＋1)收敛，且bn绝对收敛．证明：anbn绝对收敛．

admin2019-11-25 53

问题设级数

(a_n－a_n＋1)收敛，且

b_n绝对收敛．证明：

a_nb_n绝对收敛．

选项

答案令S_n＝(a₁－a₀)＋(a₂－a₁)＋…＋(a_n－a_n－1)，则S_n＝a_n－a₀．因为级数[*](a_n－a_n－1)收敛，所以[*]S_n存在，设[*]S_n＝S，则有 [*]a_n＝S＋a₀，即[*]a_n存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有｜a_n｜≤M．因为[*]b_n绝对收敛，所以正项级数[*]｜b_n｜收敛，又0≤｜a_nb_n｜≤M ｜b_n｜，再由[*]M｜b_n｜收敛，根据正项级数的比较审敛法得[*]｜a_nb_n｜收敛，即级数[*]a_nb_n绝对收敛．

解析

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