设级数(an-an+1)收敛,且bn绝对收敛.证明:anbn绝对收敛.

admin2019-11-25  42

问题 设级数(an-an+1)收敛,且bn绝对收敛.证明:anbn绝对收敛.

选项

答案令Sn=(a1-a0)+(a2-a1)+…+(an-an-1),则Sn=an-a0. 因为级数[*](an-an-1)收敛,所以[*]Sn存在,设[*]Sn=S,则有 [*]an=S+a0,即[*]an存在,于是存在M>0,对一切的自然数n有|an|≤M. 因为[*]bn绝对收敛,所以正项级数[*]|bn|收敛,又0≤|anbn|≤M |bn|, 再由[*]M|bn|收敛,根据正项级数的比较审敛法得[*]|anbn|收敛,即级数[*]anbn绝对收敛.

解析
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