设级数(an－an＋1)收敛，且bn绝对收敛．证明：anbn绝对收敛．

admin2019-11-25 60

问题设级数

(a_n－a_n＋1)收敛，且

b_n绝对收敛．证明：

a_nb_n绝对收敛．

选项

答案令S_n＝(a₁－a₀)＋(a₂－a₁)＋…＋(a_n－a_n－1)，则S_n＝a_n－a₀．因为级数[*](a_n－a_n－1)收敛，所以[*]S_n存在，设[*]S_n＝S，则有 [*]a_n＝S＋a₀，即[*]a_n存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有｜a_n｜≤M．因为[*]b_n绝对收敛，所以正项级数[*]｜b_n｜收敛，又0≤｜a_nb_n｜≤M ｜b_n｜，再由[*]M｜b_n｜收敛，根据正项级数的比较审敛法得[*]｜a_nb_n｜收敛，即级数[*]a_nb_n绝对收敛．

解析

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考研数学三

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设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．
在区间[0，a]上|f”(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma．
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