2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=A。

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=A。

admin2017-01-14  42
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值；
    (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=A。
选项
答案(Ⅰ)由已知可得 A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+α3)=(α1，α2，α3)[*] 记P1=(α1，α2，α3)，B=[*]，则有AP1=P1B。 由于α1，α2，α3线性无关，即矩阵P1可逆，所以P1-1AP1=B，因此矩阵A与B相似，则 ｜λE-B｜=[*]=(λ-1)2(λ-4)， 矩阵B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4。 (Ⅱ)由(E-B)x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；由(4E-B)x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T。 令P2=(β1，β2，β3)= [*] 即当P=P1P2=(α1，α2，α3)[*] =(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3)时，有 P-1AP=Λ=[*]
解析
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考研数学一

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