设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=A。

admin2017-01-14 39

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃。
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P^-1AP=A。

选项

答案(Ⅰ)由已知可得 A(α₁，α₂，α₃)=(α₁+α₂+α₃，2α₂+α₃，2α₂+α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*] 记P₁=(α₁，α₂，α₃)，B=[*]，则有AP₁=P₁B。由于α₁，α₂，α₃线性无关，即矩阵P₁可逆，所以P₁^-1AP₁=B，因此矩阵A与B相似，则｜λE-B｜=[*]=(λ-1)²(λ-4)，矩阵B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4。 (Ⅱ)由(E-B)x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β₁=(-1，1，0)^T，β₂=(-2，0，1)^T；由(4E-B)x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β₃=(0，1，1)^T。令P₂=(β₁，β₂，β₃)= [*] 即当P=P₁P₂=(α₁，α₂，α₃)[*] =(-α₁+α₂，-2α₁+α₃，α₂+α₃)时，有 P^-1AP=Λ=[*]

解析

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考研数学一

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设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=A。

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