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设f(a,b)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0.证明至少存在一点ξ∈(a,b)使得|f〞(ξ)|≥|f(χ)|.
设f(a,b)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0.证明至少存在一点ξ∈(a,b)使得|f〞(ξ)|≥|f(χ)|.
admin
2018-06-12
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问题
设f(a,b)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0.证明至少存在一点ξ∈(a,b)使得|f〞(ξ)|≥
|f(χ)|.
选项
答案
f(χ)在[a,b]上连续,|f(χ)|在[a,b]上亦连续,设c为|f(χ)|在[a,b]上的最大值点.若c=a,则f(χ)=0,结论显然成立.故可设a<c<b,从而任给χ∈(a,b),有|f(χ)|f≤|f(c)|,即-|f(c)|≤f(χ)≤|f(c)|. 若f(c)>0,则f(χ)≤f(c),从而f(c)为f(χ)的最大值;若f(c)<0,则有f(χ)≥f(c),即f(c)为f(χ)的最小值,由此可知,总有f′(c)=0. 把函数f(χ)在χ=c展开为泰勒公式,得 f(χ)=f(c)+f′(c)(χ-c)+[*](χ-c)
2
=f(c)+[*](χ-c)
2
. (*) 若a<c≤[*],令χ=a,则由(*)及题设有 f(a)=f(c)+[*](a-c)
2
,即|f(c)|=[*](a-c)
2
. 由于a<c≤[*],0<c-a≤[*],因此 |f(c)|=[*] 于是|f〞(ξ)|≥[*]|f(χ)| 若[*]<c<b,令χ=b,则由(*)及题设有 f(b)=f(c)+[*](b-c)
2
,即|f(c)|=[*](b-c)
2
. 由于[*]<c<b,b-c<b-[*],因此 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6Tg4777K
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考研数学一
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