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(Ⅰ)求累次积分J= (Ⅱ)设连续函数f(χ)满足f(χ)=1+∫χ1f(y)f(y-χ)dy,记I=∫01f(χ)dχ,求证:I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y-χ)dχ, (Ⅲ)求出I的值.
(Ⅰ)求累次积分J= (Ⅱ)设连续函数f(χ)满足f(χ)=1+∫χ1f(y)f(y-χ)dy,记I=∫01f(χ)dχ,求证:I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y-χ)dχ, (Ⅲ)求出I的值.
admin
2016-07-20
59
问题
(Ⅰ)求累次积分J=
(Ⅱ)设连续函数f(χ)满足f(χ)=1+
∫
χ
1
f(y)f(y-χ)dy,记I=∫
0
1
f(χ)dχ,求证:I=1+
∫
0
1
f(y)dy∫
0
y
f(y-χ)dχ,
(Ⅲ)求出I的值.
选项
答案
(Ⅰ)将J表成 J=[*]dχdy 其中D:0≤Y≤1,[*]≤χ≤1,如图所示,现改换成先y后χ的积分顺序得 [*] (Ⅱ)因f(χ)=1+[*]∫
χ
1
f(y)f(y-χ)dy,所以在[0,1]上积分上式可得 I=∫
0
1
f(χ)dχ=1+[*]∫
0
1
dχ∫
χ
1
f(y)f(y-χ)dy. 将累次积分表成二重积分后交换积分顺序,可得 [*] (其中D如图) [*] (Ⅲ)为求I值,再对内层积分作变量替换并凑微分可得 [*] 故I=1+[*],解得I=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z0w4777K
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考研数学一
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