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设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线,且L不经过原点。n0是L上任一点(x,y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线L上点(x,y)的矢径r=xi+yj,r=|r|,θ是n0与r的夹角,试求。
设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线,且L不经过原点。n0是L上任一点(x,y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线L上点(x,y)的矢径r=xi+yj,r=|r|,θ是n0与r的夹角,试求。
admin
2019-02-26
45
问题
设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线,且L不经过原点。n
0
是L上任一点(x,y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线L上点(x,y)的矢径r=xi+yj,r=|r|,θ是n
0
与r的夹角,试求
。
选项
答案
设τ
0
=cosαi+cosβj是积分曲线L在其上点(x,y)处的单位切向量。因为曲线L在其上点(x,y)处的法向量n
0
与切向量τ
0
互相垂直,并使闭曲线L沿正向。故取 n
0
=cosβi—cosαj。 根据两矢量内积的定义及dx=cosαds,dy=cosβds,得 [*] 当σ不包含原点时,由格林公式可得[*]=0。 当σ包含原点时,取半径为ρ且包含原点的任意小的圆周l,l取逆时针方向,则l的参数方程为 x=ρcosα,y=ρsinα,0≤α≤2π, 由格林公式得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/SF04777K
0
考研数学一
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