设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线，且L不经过原点。n0是L上任一点(x，y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线L上点(x，y)的矢径r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n0与r的夹角，试求。

admin2019-02-26 49

问题设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线，且L不经过原点。n₀是L上任一点(x，y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线L上点(x，y)的矢径r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n₀与r的夹角，试求

。

选项

答案设τ₀=cosαi+cosβj是积分曲线L在其上点(x，y)处的单位切向量。因为曲线L在其上点(x，y)处的法向量n₀与切向量τ₀互相垂直，并使闭曲线L沿正向。故取 n₀=cosβi—cosαj。根据两矢量内积的定义及dx=cosαds，dy=cosβds，得 [*] 当σ不包含原点时，由格林公式可得[*]=0。当σ包含原点时，取半径为ρ且包含原点的任意小的圆周l，l取逆时针方向，则l的参数方程为 x=ρcosα，y=ρsinα，0≤α≤2π，由格林公式得 [*]

解析

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考研数学一

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设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线，且L不经过原点。n0是L上任一点(x，y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线L上点(x，y)的矢径r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n0与r的夹角，试求。

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