设A，B是n阶方阵，证明：AB，BA有相同的特征值．

admin2016-07-22 73

问题设A，B是n阶方阵，证明：AB，BA有相同的特征值．

选项

答案方法一利用特征值的定义．设AB有任一特征值λ，其对应的特征向量为ξ，则 ABξ=λξ ① ①式两边左乘B，得 BABξ=BA(Bξ)=λ(Bξ)．② 若Bξ≠0，②式说明，BA也有特征值λ(其对应的特征向量为Bξ)，若Bξ=0，由①式知，λξ=0，ξ≠0，得AB有特征值λ=0，从而｜AB｜=0，且｜BA｜=｜B｜｜A｜=｜A｜｜B｜=｜AB｜=0，从而BA也有λ=0的特征值，故AB和BA有相同的特征值．方法二利用特征方程及分块矩阵的运算．设AB有特征值λ，即有｜λE-AB｜=0，因 [*] 知AB和BA有相同的非零特征值．当AB有λ=0时，因｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，故BA也有零特征值，从而得证AB和BA有相同的特征值．

解析

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考研数学一

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