设f(x)在[a,b]上连续且单调减少.证明:当0<k<1时,∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

admin2019-03-21  20

问题 设f(x)在[a,b]上连续且单调减少.证明:当0<k<1时,∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

选项

答案0kf(x)dx-k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx-k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]=(1-k)∫0kf(x)dx-k∫k1f(x)dx=k(1-k)[f(ξ1)-f(ξ2)] 其中ξ∈[0,k],ξ∈[k,1].因为0<k<1且f(x)单调减少, 所以∫0kf(x)dx-k∫01f(x)dx=k(1-k)[f(ξ)-f(ξ)]≥0,故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx.

解析
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