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设α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,一3a)T,α3=(一1,一b一2,a+ 2b)T,β=(1,3,一3)T,试讨论当a,b为何值时, (Ⅰ)β不能由α1,α2,α3线性表示; (Ⅱ) β可由α1,α2,α3惟一地线性表示,并求出表示式; (Ⅲ
设α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,一3a)T,α3=(一1,一b一2,a+ 2b)T,β=(1,3,一3)T,试讨论当a,b为何值时, (Ⅰ)β不能由α1,α2,α3线性表示; (Ⅱ) β可由α1,α2,α3惟一地线性表示,并求出表示式; (Ⅲ
admin
2017-04-23
49
问题
设α
1
=(1,2,0)
T
,α
2
=(1,a+2,一3a)
T
,α
3
=(一1,一b一2,a+ 2b)
T
,β=(1,3,一3)
T
,试讨论当a,b为何值时,
(Ⅰ)β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示;
(Ⅱ) β可由α
1
,α
2
,α
3
惟一地线性表示,并求出表示式;
(Ⅲ) β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,但表示式不惟一,并求表示式.
选项
答案
设有一组数x
1
,x
2
,x
3
,使得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换: [*] (1)当a=0,b为任意常数时,有 [*] 可知r(A)≠[*],故方程组(*)无解,β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. (2)当a≠0,且a≠b时,r(A)=[*]=3,方程组(*)有唯一解:x
1
=1一[*],x
2
=[*],x
3
=0.故此时β可由α
1
,α
2
,α
3
唯一地线性表示为: [*] (3)当a=b≠0时,对[*]施行初等行变换: [*] 可知r(A)=[*]=2,故方程组(*)有无穷多解,通解为:x
1
=1一[*],x
2
=[*]+c,x
3
=c,其中c为任意常数.故此时β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,但表示式不唯一,其表示式为β=[*]α
2
+cα
3
.
解析
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考研数学二
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