首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
admin
2016-09-12
44
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=
=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
设η
0
为方程组AX=b的一个特解, 令β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,β
2
=ξ
2
+η
0
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
为方程组AX=b的一组解. 令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n-r
β
n-r
=0,即 (k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)n=0, 因为b为非零列向量,所以k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0,于是 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0, 注意到ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…k
n-r
=0, 故β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
线性无关,即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组.设β
1
,β
2
,…,β
n-r+2
为方程组AX=b的一组线性无关解, 令γ
1
=β
2
-β
1
,γ
2
=β
3
-β
1
,…,γ
n-r+1
=β
n-r+2
-β
1
,根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
线性无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的,所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6mt4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设X的分布函数为且Y=X2-1,则E(XY)=________.
已知f(x)的一个原函数为ln2x,则∫xf’(x)dx=________。
讨论曲线y=4Inx+k与y=4x+In4x的交点个数.
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
设,证明{xn}收敛。
设函数,则f(x)在(-∞,+∞)内不可导点的个数为________。
曲线的y=-6x2+4x4的凸区间为________。
设函数,当k为何值时,f(x)在点x=0处连续.
某无线电厂生产的一种高频管,其中一项指标服从正态分布N(μ,σ2),从一批产品中抽取8只,测得该指标数据如下:66,43,70,65,55,56,60,72.(1)总体均值μ=60,检验σ2=82(取α=0.05);(2)总体
某湖泊水量为V,每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为,流入湖泊内不含A的水量为,流出湖的水量为.设1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初开始,限定排入湖中含A污水的浓度不超过.问至多经过多少年,湖中污染物A的含量降
随机试题
按国际汇率制度的演变来划分,汇率可分为()。
党的十四大正式确立的我国经济体制改革目标是()
用孔板流量计的实用公式对天然气流量进行计算时,一般取天然气的压缩系数等于1。()
在TCP/IP体系下的电子邮件地址格式是:_______。
简述Windows7的主要特点与系统功能更新情况。
痞满的治疗基本法则是
有利于发挥市场经济条件下城市规划对社会经济发展宏观调控作用的是()。
下列情形中,在计征消费税时可以扣除委托加工收回应税消费品已纳消费税的有()。(2014年)
农民负担的统计内容不包括()。
Tourismreallyisabigbusinessthesedays.It’s【B1】______.Itinvolveshotels,transportation,【B2】______,shops,andthousands
最新回复
(
0
)