设f(x)连续，且f(x)-2∫0xf(x-t)dt=ex，则f(x)=_________．

admin2019-09-04 67

问题设f(x)连续，且f(x)-2∫₀^xf(x-t)dt=e^x，则f(x)=_________．

选项

答案2e^2x-e^x

解析由∫₀^xf(x-t)dt

∫_x⁰f(u)(-du)=∫₀^xf(u)du得
f(x)-2∫₀^xf(u)du=e^x，
求导得f’(x)-2f(x)=e^x，解得
f(x)=[∫e^x.e^∫-2dxdx+C]e^-∫-2dx=(-e^-x+C)e^2x=Ce^2x-e^x，
由f(0)=1得C=2，故f(x)=2e^2x-e^x．

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