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已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,一1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,b+3,5). (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合? (2)a、b为何值时,
已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,一1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,b+3,5). (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合? (2)a、b为何值时,
admin
2018-08-03
13
问题
已知α
1
=(1,0,2,3),α
2
=(1,1,3,5),α
3
=(1,一1,a+2,1),α
4
=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,b+3,5).
(1)a、b为何值时,β不能表示成α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的线性组合?
(2)a、b为何值时,β有α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的唯一的线性表示式?并写出该表示式.
选项
答案
设β=x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
,即 [*] 将上面方程组的增广矩阵用初等行变换化成阶梯形: [*] 由此可知 (1)当a=一1且b≠0时,r(A)=2,而r([*])=3,方程组无解,所以β不能表示成α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的线性组合. (2)当a≠一1时,r(A)=r([*])=4,方程组有唯一解,即β可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
唯一地线性表出,且有 β=一[*]α
3
+0α
1
。
解析
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0
考研数学一
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