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设f(x)在[一a,a](a>0)上有四阶连续的导数,存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式; (2)证明:存在ξ1,ξ2∈[一a,a],使得
设f(x)在[一a,a](a>0)上有四阶连续的导数,存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式; (2)证明:存在ξ1,ξ2∈[一a,a],使得
admin
2016-10-13
72
问题
设f(x)在[一a,a](a>0)上有四阶连续的导数,
存在.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式;
(2)证明:存在ξ
1
,ξ
2
∈[一a,a],使得
选项
答案
(1)由[*]存在,得f(0)=0,f’(0)=0,f"(0)=0, 则f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式为 [*] 其中ξ介于0与x之间. (2)上式两边积分得∫
-a
a
f(x)dx=[*]∫
-a
a
f
(4)
(ξ)x
4
dx. 因为f
(4)
(x)在[一a,a]上为连续函数,所以f
(4)
(x)在[一a,a]上取到最大值M和最小值m,于是有mx
4
≤f
(4)
(ξ)x
4
≤Mx
4
, [*] a
5
f
4
(ξ
1
)=60∫
-a
a
f(x)dx. 再由积分中值定理,存在ξ
2
∈[一a,a],使得 a
5
f
4
(ξ
1
)=60∫
-a
a
f(x)dx=120af(ξ
2
),即a
4
f
4
(ξ
1
)=120f(ξ
2
).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DIu4777K
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考研数学一
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