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设函数f(x)在[a,b]上二阶可导,f’(a)=f’(b)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得|f”(ξ)|≥|f(b)-f(a)|.
设函数f(x)在[a,b]上二阶可导,f’(a)=f’(b)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得|f”(ξ)|≥|f(b)-f(a)|.
admin
2022-06-04
63
问题
设函数f(x)在[a,b]上二阶可导,f’(a)=f’(b)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得|f”(ξ)|≥
|f(b)-f(a)|.
选项
答案
将f(x)在x=x
0
处按拉格朗日余项的泰勒公式展开,得 f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+[*]f”(ξ)(x-x
0
)
2
其中ξ介于x与x
0
之间.把x
0
=a和x
0
=b代入得,得 f(x)=f(A)+f’(A)(x-a)+[*]f”(ξ
1
)(x-a)
2
=f(A)+[*]f”(ξ
1
)(x-a)
2
,a<ξ
1
<x f(x)=f(B)+f’(B)(x-b)+[*]f”(ξ
2
)(x-b)
2
=f(B)+[*]f”(ξ
2
)(x-b)
2
,x<ξ
2
<b 令x=[*],然后由上面两式相减,得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7HR4777K
0
考研数学三
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