(I)设f(x连续，证明 (Ⅱ)求

admin2019-02-20 64

问题 (I)设f(x连续，证明

(Ⅱ)求

选项

答案(I)令g(x)=xf(sinx)，则g(x)在[0，π]上连续，注意到sin(π－x)=sinx，于是g(π－x)=(π－x)f[sin(π－x)]=(π－x)f(sinx)，由(*)式可得 [*] 令x=π－t，则 [*] 进而可得 [*] (Ⅱ)由于1+cos²x=2－sin²x，从而可用(I)的结果，即 [*] 或用(*)式可得 [*] 用(**)式可得 [*]

解析在定积分

中作换元，令t=a－c可得c：0→a对应t：a→0，且dx=－dt，于是

从而有

当(*)式右端的定积分容易计算时，(*)式就是积分

的一个简化计算公式．
在定积分

中，除f(x)是[－a，a]上的奇函数或偶函数时有简化计算公式外，当f(x)是不具奇偶性的某些函数时也有如下的简化计算公式．
首先

中作换元，令t=－x可得x：－a→0对应t：a→0，且dx=－dt，于是

从而有

当(**)式右端的定积分容易计算时，(**)式就是积分

的一个简化计算公式．

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考研数学三

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