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  3. (I)设f(x连续，证明 (Ⅱ)求

(I)设f(x连续，证明 (Ⅱ)求

admin2019-02-20  63
问题 (I)设f(x连续，证明
    (Ⅱ)求
选项
答案(I)令g(x)=xf(sinx)，则g(x)在[0，π]上连续，注意到sin(π－x)=sinx，于是g(π－x)=(π－x)f[sin(π－x)]=(π－x)f(sinx)，由(*)式可得 [*] 令x=π－t，则 [*] 进而可得 [*] (Ⅱ)由于1+cos2x=2－sin2x，从而可用(I)的结果，即 [*] 或用(*)式可得 [*] 用(**)式可得 [*]
解析 在定积分中作换元，令t=a－c可得c：0→a对应t：a→0，且dx=－dt，于是
            
    从而有
            
当(*)式右端的定积分容易计算时，(*)式就是积分的一个简化计算公式．
    在定积分中，除f(x)是[－a，a]上的奇函数或偶函数时有简化计算公式外，当f(x)是不具奇偶性的某些函数时也有如下的简化计算公式．
    首先中作换元，令t=－x可得x：－a→0对应t：a→0，且dx=－dt，于是
      
从而有
      
当(**)式右端的定积分容易计算时，(**)式就是积分的一个简化计算公式．
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考研数学三

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