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考研
(I)设f(x连续,证明 (Ⅱ)求
(I)设f(x连续,证明 (Ⅱ)求
admin
2019-02-20
24
问题
(I)设f(x连续,证明
(Ⅱ)求
选项
答案
(I)令g(x)=xf(sinx),则g(x)在[0,π]上连续,注意到sin(π-x)=sinx,于是g(π-x)=(π-x)f[sin(π-x)]=(π-x)f(sinx),由(*)式可得 [*] 令x=π-t,则 [*] 进而可得 [*] (Ⅱ)由于1+cos
2
x=2-sin
2
x,从而可用(I)的结果,即 [*] 或用(*)式可得 [*] 用(**)式可得 [*]
解析
在定积分
中作换元,令t=a-c可得c:0→a对应t:a→0,且dx=-dt,于是
从而有
当(*)式右端的定积分容易计算时,(*)式就是积分
的一个简化计算公式.
在定积分
中,除f(x)是[-a,a]上的奇函数或偶函数时有简化计算公式外,当f(x)是不具奇偶性的某些函数时也有如下的简化计算公式.
首先
中作换元,令t=-x可得x:-a→0对应t:a→0,且dx=-dt,于是
从而有
当(**)式右端的定积分容易计算时,(**)式就是积分
的一个简化计算公式.
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考研数学三
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