求下列微分方程的通解: (Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)3]dx; (Ⅱ)(1+y2)dx=(arctany-x)dy; (Ⅲ)y’+2y=sinx; (Ⅳ)eyy’-=x2 (Ⅴ) (Ⅵ)(x2-3y2)x+(3x2-y2)=0;

admin2020-03-10  50

问题 求下列微分方程的通解:
(Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)3]dx;   
(Ⅱ)(1+y2)dx=(arctany-x)dy;
(Ⅲ)y’+2y=sinx;   
(Ⅳ)eyy’-=x2
(Ⅴ)
(Ⅵ)(x2-3y2)x+(3x2-y2)=0;

(Ⅸ)xdy-ydx=y2eydy;   
(Ⅹ)y’’+5y’+6y=ex
(Ⅺ)y’’+9y=6cos3x.

选项

答案(Ⅰ)原方程可改写为[*],这是一阶线性微分方程,用积分因子[*]=2(x-2),两边求积分即得通解 [*] 即 y=C(x-2)+(x-2)3,其中C是任意常数. [*] 两边求积分即得通解 [*] 即 x=Ce-arctany+arctany-1,其中C是任意常数. [*] (Ⅵ)题设方程为齐次微分方程,方程可改写成 [*] 这是一个变量可分离型方程,其通解为y(eu+u)=C.所以原微分方程的通解为[*]+x=C. (Ⅷ)因为y’cosy=(siny)’,令u=siny,则原微分方程化为 u’+u=x. 这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程,其通解为 u=e-x(C+∫xexdx)=Ce-x+x-1 所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x-1. (Ⅸ)当y≠0时,将原方程变为如下形式: [*] 所以原方程是一个全微分方程,其通解为 [*] (Ⅺ)对应的特征方程为λ2+9=(λ-3i)(λ+3i)=0[*]特征根为λ1=3i,λ2=-3i,由方程的非齐次项6cos3x可知,应设非齐次方程的特解具有形式y*=x(Acos3x+Bsin3x).计算可得 [*] 从而A=0,B=1.综合得通解y≡(C1+x)sin3x+C2cos3x.

解析
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