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[2005年] 如图1.3.2.3所示,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分∫03(x2+x)f″′(x)dx
[2005年] 如图1.3.2.3所示,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分∫03(x2+x)f″′(x)dx
admin
2019-04-05
92
问题
[2005年] 如图1.3.2.3所示,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l
1
与l
2
分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分∫
0
3
(x
2
+x)f″′(x)dx.
选项
答案
因被积函数含有抽象函数的导数,可用分部积分法计算,且让函数导数进入微分号.再利用图形,求出相关数据算出结果. 先从图中获取计算积分所需的数据:f(3)=2,f(0)=0.从图中还可求出曲线y=f(x)在点(0,0)与(3,2)处的切线斜率: f′(0)=(4—0)/(2-0)=2, f′(3)=一(2—0)/(4—3)=一2. 由(3,2)是曲线y=f(x)的拐点知,f″(3)=0(拐点的必要条件).因被积函数含函数的导数,下用分部积分法求其值. ∫
0
3
(x
2
+x)f″′(x)dx=(x
2
+x)f″(x)∣
0
3
-∫
0
3
(2x+1)f″(x)dx =一∫
0
3
(2x+1)f″(x)dx=-(2x+1)f′(x)∣
0
3
+2∫
0
3
f′(x)dx =一[7×(一2)一2]+2∫
0
3
f′f(x)dx=16+2f(x)∣
0
3
=16+4=20.
解析
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0
考研数学二
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