已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=0，且存在点x0∈(0，1)使f(x0)＞x0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1．

admin2022-06-04 35

问题已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=0，且存在点x₀∈(0，1)使f(x₀)＞x₀．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1．

选项

答案令F(x)=f(x)-x，且F(x)在[0，1]上连续，F(1)=f(1)-1=-1，F(x₀)=f(x₀)-x₀＞0．根据零点定理得，存在η∈(x₀，1)使得F(η)=0．又F(x)在(0，1)内可导，且F(0)=0．根据罗尔定理得，必存在一点ξ∈(0，η)[*](0，1)使得F’(ξ)=f’(ξ)-1=0，即f’(ξ)=1．

解析

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考研数学三

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