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已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,且存在点x0∈(0,1)使f(x0)>x0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1.
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,且存在点x0∈(0,1)使f(x0)>x0.证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1.
admin
2022-06-04
51
问题
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,且存在点x
0
∈(0,1)使f(x
0
)>x
0
.证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1.
选项
答案
令F(x)=f(x)-x,且F(x)在[0,1]上连续,F(1)=f(1)-1=-1,F(x
0
)=f(x
0
)-x
0
>0.根据零点定理得,存在η∈(x
0
,1)使得F(η)=0.又F(x)在(0,1)内可导,且F(0)=0.根据罗尔定理得,必存在一点ξ∈(0,η)[*](0,1)使得F’(ξ)=f’(ξ)-1=0,即f’(ξ)=1.
解析
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考研数学三
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