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设u=f(xy，x2－y2，x)，其中函数f有二阶连续偏导数，试求： (Ⅰ)du； (Ⅱ)
设u=f(xy，x2－y2，x)，其中函数f有二阶连续偏导数，试求： (Ⅰ)du； (Ⅱ)
admin
2015-05-07
61
问题
设u=f(xy，x
2
－y
2
，x)，其中函数f有二阶连续偏导数，试求：
(Ⅰ)du；
(Ⅱ)
选项
答案
(Ⅰ) 利用一阶全微分形式不变性，直接求全微分得 du=f’
1
．d(xy)+f’
2
．d(x
2
－y
2
)+f’
3
．dx =f’
1
．(ydx+xdy)+2f’
2
．(xdx－ydy)+f’
3
．dx =(yf’
1
+2xf’
2
+f’
3
)dx+(xf’
1
－2yf’
2
)dy． (Ⅱ) 由du表达式中dx的系数可得 u’
x
=yf’
1
+2xf’
2
+f’
3
． 上式再对y求偏导数，即得 u"
xy
=y(f’
1
)’
y
+2x(f’
2
)’
y
+(f’
3
)’
y
+f’
1
． 由于 f’
1
=f’
1
(xy，x
2
－y
2
，x)， f’
2
=f’
2
(xy，x
2
－y
2
，x)，f’
3
=f’
3
(xy，x
2
－y
2
，x)， 它们仍是复合函数，求它们关于y的偏导数与求f(xy，x
2
－y
2
，x)关于y的偏导数的方法是相同 的，同样由复合函数求导法有 (f’
1
)’
y
=xf"
11
－2yf"
12
， (f’
2
)’
y
=xf"
21
－2yf"
22
， (f’
3
)’
y
=xf"
31
－2yf"
32
． 代入u"
xy
的表达式，并利用f"
12
=f"
21
(因为它们连续)，得 u"
xy
=y(xf"
11
－2yf"
12
)+2yf"
21
－2yf"
22
)+xf"
31
－2yf"
32
+f’
1
=xyf"
11
+2(x
2
－y
2
)f"
12
－4xyf"
22
+xf"
31
－2yf"
32
+f’
1
．
解析
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0
考研数学一
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