设u=f(xy，x2－y2，x)，其中函数f有二阶连续偏导数，试求： (Ⅰ)du； (Ⅱ)

admin2015-05-07 64

问题设u=f(xy，x²－y²，x)，其中函数f有二阶连续偏导数，试求：
(Ⅰ)du；
(Ⅱ)

选项

答案(Ⅰ) 利用一阶全微分形式不变性，直接求全微分得 du=f’₁．d(xy)+f’₂．d(x²－y²)+f’₃．dx =f’₁．(ydx+xdy)+2f’₂．(xdx－ydy)+f’₃．dx =(yf’₁+2xf’₂+f’₃)dx+(xf’₁－2yf’₂)dy． (Ⅱ) 由du表达式中dx的系数可得 u’_x=yf’₁+2xf’₂+f’₃．上式再对y求偏导数，即得 u"_xy=y(f’₁)’_y+2x(f’₂)’_y+(f’₃)’_y+f’₁．由于 f’₁=f’₁(xy，x²－y²，x)， f’₂=f’₂(xy，x²－y²，x)，f’₃=f’₃(xy，x²－y²，x)，它们仍是复合函数，求它们关于y的偏导数与求f(xy，x²－y²，x)关于y的偏导数的方法是相同的，同样由复合函数求导法有 (f’₁)’_y=xf"₁₁－2yf"₁₂， (f’₂)’_y=xf"₂₁－2yf"₂₂， (f’₃)’_y=xf"₃₁－2yf"₃₂．代入u"_xy的表达式，并利用f"₁₂=f"₂₁(因为它们连续)，得 u"_xy=y(xf"₁₁－2yf"₁₂)+2yf"₂₁－2yf"₂₂)+xf"₃₁－2yf"₃₂+f’₁ =xyf"₁₁+2(x²－y²)f"₁₂－4xyf"₂₂+xf"₃₁－2yf"₃₂+f’₁．

解析

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考研数学一

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