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函数f(x)在[0,+∞]上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0 (1)求导数f’(x); (2)证明:当x≥0时,成立不等式:e一x≤f(x)≤1.
函数f(x)在[0,+∞]上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0 (1)求导数f’(x); (2)证明:当x≥0时,成立不等式:e一x≤f(x)≤1.
admin
2017-04-24
36
问题
函数f(x)在[0,+∞]上可导,f(0)=1,且满足等式f’(x)+f(x)一
∫
0
x
f(t)dt=0
(1)求导数f’(x);
(2)证明:当x≥0时,成立不等式:e
一x
≤f(x)≤1.
选项
答案
(1)由题设知 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫
0
x
f(t)dt=0 上式两边对x求导,得(x+1)f"(x)=一(x+2)f’(x) 设u=f’(x),则有[*] 解得 f’(x)=u=[*] 由f(0)=1,及f’(0)+f(0)=0,知f’(0)=一1,从而C=一1. 因此 [*] (2)当x≥0时,f’(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1 设 φ(x)=f(x)一 e
一x
则 φ(0)=0,φ’(x)≥0,即φ(x)单调增加,因而 φ(x)≥φ(0)=0,即有f(x)≥e
一x
综上所述,当x≥0时,成立不等式e
一x
≤f (x)≤1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7jt4777K
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