(Ⅰ)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α1，α2，…，αn-1为n一1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．

admin2014-11-26 37

问题 (Ⅰ)设α₁，α₂，…，α_n为n个n维线性无关的向量，且β与α₁，α₂，…，α_n正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α₁，α₂，…，α_n-1为n一1个n维线性无关的向量，α₁，α₂，…，α_n-1与非零向量β₁，β₂正交，证明：β₁，β₂线性相关．

选项

答案(Ⅰ)令[*] 因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以r(A)=n．又因为α₁，α₂，…，α_n与β正交，所以Aβ=0，从而r(A)+r(β)≤n，注意到r(A)=n，于是r(β)=0，即β为零向量． (Ⅱ)方法一：令[*] B=(β₁，β₂)，因为α₁，α₂，…，α_n-1线性无关，所以r(A)=n一1．又因为α₁，α₂，…，α_n-1与β₁，β₂正交，所以AB=0，从而r(A)+r(B)≤n，注意到r(A)=n一1，所以r(B)≤1，即β₁，β₂线性相关．方法二：令[*] 因为α₁，α₂，…，α_n-1线性无关，所以r(A)=n一1．因为α₁，α₂，…，α_n-1与β₁，β₂正交，所以β₁，β₂为方程组AX=0的两个解，而方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β₁，β₂线性相关．

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α1，α2，…，αn-1为n一1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．

考研数学一

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设，则在实数域上与A合同的矩阵为()．

设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11，b12，b13，b14]T，β2=[b21，b22，b23，b24]T，记α1=[a11，a12，a13，a14]T，α2=[a21，a22，a23，a24]T．证明：向量组α1，α2，β1，β2线性无关．

已知向量组线性无关，证明：对任意实数a，b，c向量组也线性无关．

设A是3阶矩阵，b=[9，18，-18]T，方程Ax=b有通解k1[-2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，-2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．

求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=1=1的解．

求微分方程yy”一(y’)2=0满足初值条件y｜x=0=1，y’｜x=0=的特解．

用变量代换x=lnt将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．

什么情况下出具检定证书?对检定证书的要求是什么?

正值换毛时期的家禽烫制煺毛较容易。()

下列有关行政法特征的说法哪一项是正确的？()

在工程施工中，施工单位需要使用《报验申请表》的情况有(　　)。

某公司20l0年度销售成本为2000万元，期初存货为270万元，期末存货为230万元。该公司的存货周转天数为()天。

2009年江西省各设区市中地方财政收入占财政总收入的比值最接近全省平均水平的是()。

双边外交

改革开放和社会主义现代化建设的根本目的是

A、Shortageofdays.B、Superstition.C、Inabilitytodividetheyear.D、Toomanymonths.BWhatproblemdidtheRomansencounterwh

A、Byputtingonalittlemake-up.B、Bydecoratingourhomes.C、Bybeingkindandgenerous.D、Bywearingfashionableclothes.C细

(Ⅰ)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α1，α2，…，αn-1为n一1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．

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设，则在实数域上与A合同的矩阵为()．

设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11，b12，b13，b14]T，β2=[b21，b22，b23，b24]T，记α1=[a11，a12，a13，a14]T，α2=[a21，a22，a23，a24]T．证明：向量组α1，α2，β1，β2线性无关．

已知向量组线性无关，证明：对任意实数a，b，c向量组也线性无关．

设A是3阶矩阵，b=[9，18，-18]T，方程Ax=b有通解k1[-2，1，0]T+k2[2，0，1]T+[1，2，-2]T，其中k1，k2是任意常数，求A及A100．

求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y｜x=1=1的解．

求微分方程yy”一(y’)2=0满足初值条件y｜x=0=1，y’｜x=0=的特解．

用变量代换x=lnt将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．

什么情况下出具检定证书?对检定证书的要求是什么?

正值换毛时期的家禽烫制煺毛较容易。()

下列有关行政法特征的说法哪一项是正确的？()

在工程施工中，施工单位需要使用《报验申请表》的情况有( )。

某公司20l0年度销售成本为2000万元，期初存货为270万元，期末存货为230万元。该公司的存货周转天数为()天。

2009年江西省各设区市中地方财政收入占财政总收入的比值最接近全省平均水平的是()。

双边外交

改革开放和社会主义现代化建设的根本目的是

A、Shortageofdays.B、Superstition.C、Inabilitytodividetheyear.D、Toomanymonths.BWhatproblemdidtheRomansencounterwh

A、Byputtingonalittlemake-up.B、Bydecoratingourhomes.C、Bybeingkindandgenerous.D、Bywearingfashionableclothes.C细

在工程施工中，施工单位需要使用《报验申请表》的情况有(　　)。