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(Ⅰ)设α1,α2,…,αn为n个n维线性无关的向量,且β与α1,α2,…,αn正交.证明:β=0; (Ⅱ)设α1,α2,…,αn-1为n一1个n维线性无关的向量,α1,α2,…,αn-1与非零向量β1,β2正交,证明:β1,β2线性相关.
(Ⅰ)设α1,α2,…,αn为n个n维线性无关的向量,且β与α1,α2,…,αn正交.证明:β=0; (Ⅱ)设α1,α2,…,αn-1为n一1个n维线性无关的向量,α1,α2,…,αn-1与非零向量β1,β2正交,证明:β1,β2线性相关.
admin
2014-11-26
72
问题
(Ⅰ)设α
1
,α
2
,…,α
n
为n个n维线性无关的向量,且β与α
1
,α
2
,…,α
n
正交.证明:β=0; (Ⅱ)设α
1
,α
2
,…,α
n-1
为n一1个n维线性无关的向量,α
1
,α
2
,…,α
n-1
与非零向量β
1
,β
2
正交,证明:β
1
,β
2
线性相关.
选项
答案
(Ⅰ)令[*] 因为α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,所以r(A)=n.又因为α
1
,α
2
,…,α
n
与β正交,所以Aβ=0,从而r(A)+r(β)≤n,注意到r(A)=n,于是r(β)=0,即β为零向量. (Ⅱ)方法一:令[*] B=(β
1
,β
2
),因为α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性无关,所以r(A)=n一1.又因为α
1
,α
2
,…,α
n-1
与β
1
,β
2
正交,所以AB=0,从而r(A)+r(B)≤n,注意到r(A)=n一1,所以r(B)≤1,即β
1
,β
2
线性相关. 方法二:令[*] 因为α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性无关,所以r(A)=n一1.因为α
1
,α
2
,…,α
n-1
与β
1
,β
2
正交,所以β
1
,β
2
为方程组AX=0的两个解,而方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量,所以β
1
,β
2
线性相关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7l54777K
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考研数学一
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