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(Ⅰ)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α1，α2，…，αn-1为n一1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．
(Ⅰ)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α1，α2，…，αn-1为n一1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn-1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关．
admin
2014-11-26
65
问题
(Ⅰ)设α
1
，α
2
，…，α
n
为n个n维线性无关的向量，且β与α
1
，α
2
，…，α
n
正交．证明：β=0； (Ⅱ)设α
1
，α
2
，…，α
n-1
为n一1个n维线性无关的向量，α
1
，α
2
，…，α
n-1
与非零向量β
1
，β
2
正交，证明：β
1
，β
2
线性相关．
选项
答案
(Ⅰ)令[*] 因为α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，所以r(A)=n．又因为α
1
，α
2
，…，α
n
与β正交，所以Aβ=0，从而r(A)+r(β)≤n，注意到r(A)=n，于是r(β)=0，即β为零向量． (Ⅱ)方法一：令[*] B=(β
1
，β
2
)，因为α
1
，α
2
，…，α
n-1
线性无关，所以r(A)=n一1．又因为α
1
，α
2
，…，α
n-1
与β
1
，β
2
正交，所以AB=0，从而r(A)+r(B)≤n，注意到r(A)=n一1，所以r(B)≤1，即β
1
，β
2
线性相关． 方法二：令[*] 因为α
1
，α
2
，…，α
n-1
线性无关，所以r(A)=n一1．因为α
1
，α
2
，…，α
n-1
与β
1
，β
2
正交，所以β
1
，β
2
为方程组AX=0的两个解，而方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β
1
，β
2
线性相关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7l54777K
0
考研数学一
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