2. 考研
  3. (1)设f(x1+x2+x3)=x12+2x22+6x32-2x1x2+2x1x3-6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，求出所作的可逆线性变换。并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (2)设A=，求可逆矩阵D，使A=DTD

(1)设f(x1+x2+x3)=x12+2x22+6x32-2x1x2+2x1x3-6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，求出所作的可逆线性变换。并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (2)设A=，求可逆矩阵D，使A=DTD

admin2022-06-22  13
问题 (1)设f(x1+x2+x3)=x12+2x22+6x32-2x1x2+2x1x3-6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，求出所作的可逆线性变换。并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；
    (2)设A=，求可逆矩阵D，使A=DTD
选项
答案(1)将f(x1，x2，x3)用配方法化为标准形，得 f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32-2x1x2+2x1x3-6x2x3=(x1-x2+x3)2+x22+5x32-4x2x3 =(x1-x2+x3)2+(x2-2x3)2+x32 [*] f(x1，x2，x3)=y12+y22+y32。 所作的可逆性变换为x=Cy，其中C=[*] 因二次型的规范为y12+y22+y32， 则正惯性指数p=3=r(A)，故对应矩阵A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明)。 (2)法一 由题设知，[*]是f(x1，x2，x3)的对应矩阵，即f(x1，x2，x3)=xTAx。 令x=Cy，其中C=[*]，得f=xTAx=yTCTACy=yTEy，故CTAC=E，A=(C-1)TC-1=DTD。其中D=C-1。 [*] 法二 由(1)知， [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7pl4777K
0

考研数学一

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)