2. 考研
  3. 设函数f(x)是以T为周期的连续函数． (Ⅰ)证明：∫0x(t)dt可以表示成一个以T为周期的连续函数与kx之和，并求常数k； (Ⅱ)计算∫0xf(t)dt．

设函数f(x)是以T为周期的连续函数． (Ⅰ)证明：∫0x(t)dt可以表示成一个以T为周期的连续函数与kx之和，并求常数k； (Ⅱ)计算∫0xf(t)dt．

admin2022-04-27  64
问题 设函数f(x)是以T为周期的连续函数．
(Ⅰ)证明：∫0x(t)dt可以表示成一个以T为周期的连续函数与kx之和，并求常数k；
(Ⅱ)计算∫0xf(t)dt．
选项
答案(Ⅰ)令F(x)=∫0xf(t)dt-kx，只要证明能取到常数k，使F(x)以T为周期即可． F(x+T)-F(x)=∫0x+Tf(t)dt-k(x+T)-∫0xf(t)dt+kx =∫Tx+Tf(t)dt-kT=∫0Tf(t)dt-kT， 取k=[*]∫0Tf(t)dt，即可使F(x)以T为周期． (Ⅱ)由(Ⅰ)，有 ∫0xf(t)dt=F(x)+kx，k=[*]∫0Tf(t)dt． 因为F(x)以T为周期，且连续，所以F(x)有界，[*]，故 [*]
解析
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考研数学三

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