2. 考研
  3. 下列命题中 (1)如果矩阵AB＝E，则A可逆且A-1＝B； (2)如果n阶矩阵A，B满足(AB)2＝E，则(BA)2＝E； (3)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A＋B必不可逆； (4)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，

下列命题中 (1)如果矩阵AB＝E，则A可逆且A-1＝B； (2)如果n阶矩阵A，B满足(AB)2＝E，则(BA)2＝E； (3)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A＋B必不可逆； (4)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，

admin2016-05-09  39
问题 下列命题中
    (1)如果矩阵AB＝E，则A可逆且A-1＝B；
    (2)如果n阶矩阵A，B满足(AB)2＝E，则(BA)2＝E；
    (3)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A＋B必不可逆；
    (4)如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆．
    正确的是(    )
选项 A、(1)(2)
B、(1)(4)
C、(2)(3)
D、(2)(4)
答案D
解析 如果A、B均为n阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故(1)不正确．例如

    显然A不可逆．
    若A、B为n阶矩阵，(AB)2＝E，即(AB)(AB)＝E，则可知A、B均可逆，于是ABA＝B-1，从而BABA＝E．即(BA)2＝E．因此(2)正确．
    若设
    显然A、B都不可逆，但A＋B＝可逆，可知(3)不正确．
    由于A、B为均n阶不可逆矩阵，知｜A｜＝｜B｜＝0，且结合行列式乘法公式，有｜AB｜｜A｜｜B｜＝0，故AB必不可逆．(4)正确．
    所以应选D．
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考研数学一

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