下列命题中 (1)如果矩阵AB=E,则A可逆且A-1=B; (2)如果n阶矩阵A,B满足(AB)2=E,则(BA)2=E; (3)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆; (4)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,

admin2016-05-09  28

问题 下列命题中
    (1)如果矩阵AB=E,则A可逆且A-1=B;
    (2)如果n阶矩阵A,B满足(AB)2=E,则(BA)2=E;
    (3)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆;
    (4)如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆.
    正确的是(    )

选项 A、(1)(2)
B、(1)(4)
C、(2)(3)
D、(2)(4)

答案D

解析 如果A、B均为n阶矩阵,命题(1)当然正确,但是题中没有n阶矩阵这一条件,故(1)不正确.例如

    显然A不可逆.
    若A、B为n阶矩阵,(AB)2=E,即(AB)(AB)=E,则可知A、B均可逆,于是ABA=B-1,从而BABA=E.即(BA)2=E.因此(2)正确.
    若设
    显然A、B都不可逆,但A+B=可逆,可知(3)不正确.
    由于A、B为均n阶不可逆矩阵,知|A|=|B|=0,且结合行列式乘法公式,有|AB||A||B|=0,故AB必不可逆.(4)正确.
    所以应选D.
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