设y=f(x)在(－1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：对(－1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立；

admin2019-12-26 139

问题设y=f(x)在(－1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：
对(－1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立；

选项

答案对(－1，1)内任一x≠0，由拉格朗日中值定理知，[*]θ(x)∈(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]．因为f"(x)在(－1，1)内连续且f"(x)≠0，所以f"(x)在(－1，1)内不变号，即f′(x)单调，故θ(x)是唯一的．

解析

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考研数学三

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