设函数f(χ)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)＝0，f(a)＝b，求证：∫0af(χ)dχ＋∫0bg(χ)dχ＝ab，其中g(χ)是f(χ)的反函数．

admin2020-03-16 68

问题设函数f(χ)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)＝0，f(a)＝b，求证：∫₀^af(χ)dχ＋∫₀^bg(χ)dχ＝ab，其中g(χ)是f(χ)的反函数．

选项

答案令F(a)＝∫₀^af(χ)dχ＋∫₀^f(a)g(χ)dχ－af(a)，对a求导得 F′(a)＝f(a)＋g[f(a)]f′(a)－af′(a)－f(a)，由题设g(χ)是f(χ)的反函数知g[f(a)]＝a，故F′(a)＝0，从而F(a)为常数．又F(0)＝0，故F(a)＝0，即原等式成立．

解析

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