设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞,+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1.

admin2021-11-25 72

问题设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞,+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1.

选项

答案令ψ(x)=e^xf(x),则ψ’(x)=e^x[f(x)+f’(x)] 由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜ψ’(x)｜≤e^x,又由f(x)有界得ψ(－∞)=0,则 ψ(x)=ψ(x)－ψ(－∞)=∫_-∞^xψ’(x)dx,两边取绝对值得 e^x｜f(x)｜≤∫_－∞^x｜ψ’(x)｜dx≤∫_－∞^xe^xdx=e^x,所以｜f(x)｜≤1.

解析

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