设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1,证明:|f(x)|≤1.

admin2021-11-25  30

问题 设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1,证明:|f(x)|≤1.

选项

答案令ψ(x)=exf(x),则ψ’(x)=ex[f(x)+f’(x)] 由|f(x)+f’(x)|≤1得|ψ’(x)|≤ex,又由f(x)有界得ψ(-∞)=0,则 ψ(x)=ψ(x)-ψ(-∞)=∫-∞xψ’(x)dx,两边取绝对值得 ex|f(x)|≤∫-∞x|ψ’(x)|dx≤∫-∞xexdx=ex,所以|f(x)|≤1.

解析
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