2. 考研
  3. 设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞,+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1.

设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞,+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1.

admin2021-11-25  68
问题 设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞,+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1.
选项
答案令ψ(x)=exf(x),则ψ’(x)=ex[f(x)+f’(x)] 由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜ψ’(x)｜≤ex,又由f(x)有界得ψ(－∞)=0,则 ψ(x)=ψ(x)－ψ(－∞)=∫-∞xψ’(x)dx,两边取绝对值得 ex｜f(x)｜≤∫－∞x｜ψ’(x)｜dx≤∫－∞xexdx=ex,所以｜f(x)｜≤1.
解析
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考研数学二

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