设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求: A能否相似于对角阵,说明理由.

admin2019-07-19  27

问题 设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求:
A能否相似于对角阵,说明理由.

选项

答案A不能相似于对角阵,因α≠0,β≠0,故A=αβT≠O,r(A)=r≠0(其实r(A)=1,为什么?).从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n-r≠n个,故A不能对角化.

解析
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