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设f(x)在(a，b)内可导，证明：x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f’(x0)(x一x0)＞f(x)． (*)
设f(x)在(a，b)内可导，证明：x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f’(x0)(x一x0)＞f(x)． (*)
admin
2018-11-21
58
问题
设f(x)在(a，b)内可导，证明：
x，x
0
∈(a，b)且x≠x
0
时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是
f(x
0
)+f’(x
0
)(x一x
0
)＞f(x)． (*)
选项
答案
充分性：设(*)成立，[*]x
1
，x
2
∈(a，b)且x
1
＜x
2
→ f(x
2
)＜(x
1
)+f’(x
1
)(x
2
—x
1
)，f(x
1
)＜f(x
2
)+f’(x
2
)(x
1
—x
2
)． 两式相加 → [f’(x
1
)一f’(x
2
)](x
2
一x
1
)＞0 → f’(x
1
)＞f’(x
2
)，即f’(x)在(a，b)单调减少． 必要性：设f’(x)在(a，b)单调减少．对于[*]x，x
0
∈(a，b)且x≠a
0
，由微分中值定理得 f(x)一[f(x
0
)+f’(x
0
)(x一x
0
)]=[f’(ξ)一f’(x
0
)](x一x
0
)＜0， 其中ξ在x与x
0
之间，即(*)成立．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uOg4777K
0
考研数学一
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