设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: 存在η∈(a,b),使得f’’(η)一3f’(η)+2f(η)=0

admin2018-11-22  22

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明:
存在η∈(a,b),使得f’’(η)一3f(η)+2f(η)=0

选项

答案令g(x)=e-xf(x),g(a)=g(c)=g(b)=0, 由罗尔定理,存在η1∈(a,c),η2∈(c,b),使得g1)=g2)=0, 而g(x)=e-x[f(x)一f(x)]且e-x≠0,所以f1)一f(η1)=0,f2)一f(η2)=0. 令φ(x)=e-2x[f(x)一f(x)],φ(η1)=φ(η2)=0, 由罗尔定理,存在η∈(η1,η2)[*](a,b),使得φ(η)=0, 而φ(x)=e-2x[f’’(x)一3f(x)+2f(x)]且e-2x≠0, 所以f’’(η)-3f(η)+2f(η)=0.

解析
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