设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是a1=(-1，-1，1)T，a2=(1，-2，-1)T． (Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2013-09-03 68

问题设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是a₁=(-1，-1，1)^T，a₂=(1，-2，-1)^T．
(Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量；
(Ⅱ)求矩阵A．

选项

答案(Ⅰ)由题设，实对称矩阵A的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设A的属于特征值3的特征向量为a₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则a₁^Ta₃=0且a₂^Ta₃=0，写成线性方程组的形式为[*]，可解得[*]，其中C为任意非零常数，所以A的属于特征值3的特征向量为a₃=C(1，0，1)^T． (Ⅱ)由于实对称阵必可对角化，即存在可逆矩阵P，使P^-1AP=[*] 且由前述可令P=[*]，因此A=P[*] 先求出P^-1=[*] 则A=[*]

解析

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考研数学一

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设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是a1=(-1，-1，1)T，a2=(1，-2，-1)T． (Ⅰ)求A的属于特征值3的特征向量； (Ⅱ)求矩阵A．

考研数学一

设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y21+y22-y23，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为()

设向量组α1，α2，α3为3维向量空间R3的一个基，令β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=2α1+(k+1)α3．当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求出所有的ξ．

设A为m×n矩阵，证明：方程Ax=Em有解的充分必要条件是R(A)=m．

设(ai2+bi2≠0，i=1，2，3)，证明三直线相交于一点的充分必要条件：向量组a，b线性无关，且向量组a，b，c线性相关．

设对于半空间x＞0内的任意光滑有向封闭曲面∑，都有其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且，求f(x)

已知极限，试确定常数n和c的值．

求直线绕z轴旋转而成的旋转曲面方程，并问a、b不同时为零时，该曲面为何种曲面?

将下列曲线化为参数方程：

设a1＞1，又an＋1＝1+1na．(Ⅰ)证明：方程x＝1＋1nx有唯一解，并求其解；(Ⅱ)存在，并求此极限．

根据公路工程陆上作业安全技术要求，对机械车辆在危险地段作业时的要求错误的是()。

马克思主义关于________是我国社会主义教育目的的理论基础。

患者，男性，四肢屈侧皮肤丘疹，鳞屑，偶见少量水小疱及轻度糜烂，可见结痂，剧烈瘙痒，对称分布，其诊断为

甲公司委托乙公司研制一种新产品，但乙公司研制成功后被丙窃取，丙将该技术高价卖给丁公司，丁公司迅速占领了该产品的大部分市场份额。在此情况下，甲公司可以向乙公司主张(　　)。

我国社会保障基金的资金来源包括()。

JohnsononlyrememberedthatitwasSundaywhenhefirstmetMarybecauseeverybodywasatchurch.

网络在给我们带来大量有益信息的同时，也带来了许多毫无价值的、甚至是一些有悖于社会道德规范的东西。这说明()

设函数f(x)=f(x)在(一∞，+∞)上连续，则A=_________.

A和B均是m×n矩阵，秩r(A)+r(B)=n，若BBT=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解，P是M阶可逆矩阵，证明：矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系．

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