求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．

admin2018-08-23 76

问题求函数f(x，y)=x²+2y²一x²y²在区域D={(x，y)|x²+y²≤4，y≥0}上的最大值与最小值．

选项

答案先求f(x，y)在D内部的驻点．由 f’_x(x，y)=2x一2xy²=0，f’_y(x，y)=4y一2x²y=0，解得x=0或y=±1；[*]或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为[*]经计算，有 [*] 再考虑D边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x²，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x²+y²=4(y＞0)上，有 [*] 令 g’(x)=4x³一10x=0，得 x=0或[*] 有g(0)=8，[*]比较以上函数值的大小，有 [*]

解析

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