设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a—1 (Ⅱ)有公共解,求a的值及所有公共解.

admin2016-01-11  32

问题 设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a—1    (Ⅱ)有公共解,求a的值及所有公共解.

选项

答案将方程组(I)与(Ⅱ)联立得[*]则方程组(Ⅲ)的解便是方程组(I)与(Ⅱ)的公共解. 对方程组(Ⅲ)的增广矩阵[*]施行初等行变换:[*]由于方程组(Ⅲ)有解,故其系数矩阵的秩等于增广矩阵[*]的秩. 于是得(a一1)(a-2)=0,即a=1或a=2.当a=1时,[*]由此得方程组(Ⅲ)亦即方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为[*]其中k为任意常数. 当a=2时,[*]由此知方程组(Ⅲ)亦即方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为x=(0,1,一1)T

解析 本题考查含参数的方程组求公共解的方法.有两个解法:一是根据两个方程组有公共解的条件知,把这两个方程组联列后的方程组也应有解,且其解即为所求的公共解;二是把一个方程组的解代入到另一个方程组,确立它们的公共解.
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