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设f(χ)在(a,b)二阶可导,χ1,χ2∈(a,b),χ1≠χ2,t∈(0,1),则 (Ⅰ)若f〞(χ)>0(χ∈(a,b)),有 f[tχ1+(1-t2)χ2]<tf(χ1)+(1-t)f(χ2), (4.6) 特别有
设f(χ)在(a,b)二阶可导,χ1,χ2∈(a,b),χ1≠χ2,t∈(0,1),则 (Ⅰ)若f〞(χ)>0(χ∈(a,b)),有 f[tχ1+(1-t2)χ2]<tf(χ1)+(1-t)f(χ2), (4.6) 特别有
admin
2016-10-21
73
问题
设f(χ)在(a,b)二阶可导,
χ
1
,χ
2
∈(a,b),χ
1
≠χ
2
,
t∈(0,1),则
(Ⅰ)若f〞(χ)>0(
χ∈(a,b)),有
f[tχ
1
+(1-t
2
)χ
2
]<tf(χ
1
)+(1-t)f(χ
2
), (4.6)
特别有
(Ⅱ)若f〞(χ)<0(
χ∈(a,b)),有
f[tχ
1
+(1-t)χ
2
]>tf(χ
1
)+(1-t)f(χ
2
), (4.7)
特别有
选项
答案
(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似,下面只证(Ⅰ).因f〞(χ)>0(χ∈(a,b))[*]f(χ)在(a,b)为凹的[*](4.5)相应的式子成立.注意tχ
1
+(1-t)χ
2
∈(a,b)[*] f(χ
1
)>[tχ
1
+(1-t)χ
2
]+f′[tχ
1
+(1-t)χ
2
][χ-(tχ
1
+(1-t)χ
2
)] =f[tχ
1
+(1-t)χ
2
]+f′[tχ
1
+(1-t)χ
2
](1-t)(χ
1
-χ
2
), f(χ
2
)>f[tχ
1
+(1-t)χ
2
]+f′[tχ
1
+(1-t)χ
2
][χ
2
-(tχ
1
+(1-t)χ
2
)] =f[tχ
1
+(1-t)χ
2
]-f′[tχ
1
+(1-t)χ
2
]t(χ
1
-χ
2
), 两式分别乘t与(1-t)后相加得 tf(χ
1
)+(1-t)f(χ
2
)>f[tχ
1
+(1-t)χ
2
].
解析
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考研数学二
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