[2016年] 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.

admin2019-04-05  39

问题 [2016年]  设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.

选项

答案 旋转体的体积可按式(1.3.5.4)求之,表面积可按式(1.3.5.2)求之.[*] (I)设D的图形为图1.3.5.9所示,D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积可看为两个旋转体体积之差.先将曲线的参数方程化为直角坐标方程: 令x=cos3t,y=sin3t,则x=0,1时,t=[*],0. x2/3=(cos3t)2/3=cos2t,l一x2/3=l—cos2t=sin2t=(sin3t)2/3=y2/3, 故y=(1一x2/3)3/2 其略图如图1.3.5.9所示,则 则Vx=π∫01([*])2dx—π∫01y2dx=π∫01(1一x2)dx—π∫π/20sin6tdcos3t =[*]-π∫π/20sin6t·3cos2t(一sint)dt=[*]一3π∫0π/2sin7t(1一sin2t)dt =[*]-3π∫0π/2sin7tdt+3π∫0π/2sin9tdt =[*] (Ⅱ)由式(1.3.5.2)得到 S1=∫012π.y[*]dx=2π∫01[*]=2π. 由y=(1一x2/3)3/2得到 (y′)2=[*]=1. 于是[*],则 S2=2π∫01y[*]dt=2π∫01(1一x2/3)3/2·x1/3dx =2π∫π/20sin3t cos-1t·3 cos2t(—sint)dt =6π∫0π/2sin4tcostdt=6π∫0π/2sin4tdsint =6π[*] 故D绕x轴旋转一周所得的表面积为S=S1+S2=2π+[*].

解析
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