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[2016年] 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
[2016年] 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
admin
2019-04-05
39
问题
[2016年] 设D是由曲线y=
(0≤x≤1)与
围成的平面区域,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
选项
答案
旋转体的体积可按式(1.3.5.4)求之,表面积可按式(1.3.5.2)求之.[*] (I)设D的图形为图1.3.5.9所示,D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积可看为两个旋转体体积之差.先将曲线的参数方程化为直角坐标方程: 令x=cos
3
t,y=sin
3
t,则x=0,1时,t=[*],0. x
2/3
=(cos
3
t)
2/3
=cos
2
t,l一x
2/3
=l—cos
2
t=sin
2
t=(sin
3
t)
2/3
=y
2/3
, 故y=(1一x
2/3
)
3/2
其略图如图1.3.5.9所示,则 则V
x
=π∫
0
1
([*])
2
dx—π∫
0
1
y
2
dx=π∫
0
1
(1一x
2
)dx—π∫
π/2
0
sin
6
tdcos
3
t =[*]-π∫
π/2
0
sin
6
t·3cos
2
t(一sint)dt=[*]一3π∫
0
π/2
sin
7
t(1一sin
2
t)dt =[*]-3π∫
0
π/2
sin
7
tdt+3π∫
0
π/2
sin
9
tdt =[*] (Ⅱ)由式(1.3.5.2)得到 S
1
=∫
0
1
2π.y[*]dx=2π∫
0
1
[*]=2π. 由y=(1一x
2/3
)
3/2
得到 (y′)
2
=[*]=1. 于是[*],则 S
2
=2π∫
0
1
y[*]dt=2π∫
0
1
(1一x
2/3
)
3/2
·x
1/3
dx =2π∫
π/2
0
sin
3
t cos
-1
t·3 cos
2
t(—sint)dt =6π∫
0
π/2
sin
4
tcostdt=6π∫
0
π/2
sin
4
tdsint =6π[*] 故D绕x轴旋转一周所得的表面积为S=S
1
+S
2
=2π+[*].
解析
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考研数学二
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