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  3. [2016年] 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．

[2016年] 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．

admin2019-04-05  50
问题 [2016年]  设D是由曲线y=(0≤x≤1)与围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．
选项
答案 旋转体的体积可按式(1．3．5．4)求之，表面积可按式(1．3．5．2)求之．[*] (I)设D的图形为图1．3．5．9所示，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积可看为两个旋转体体积之差．先将曲线的参数方程化为直角坐标方程： 令x=cos3t，y=sin3t，则x=0，1时，t=[*]，0． x2/3=(cos3t)2/3=cos2t，l一x2/3=l—cos2t=sin2t=(sin3t)2/3=y2/3, 故y=(1一x2/3)3/2 其略图如图1．3．5．9所示，则 则Vx=π∫01([*])2dx—π∫01y2dx=π∫01(1一x2)dx—π∫π/20sin6tdcos3t =[*]－π∫π/20sin6t·3cos2t(一sint)dt=[*]一3π∫0π/2sin7t(1一sin2t)dt =[*]－3π∫0π/2sin7tdt+3π∫0π/2sin9tdt =[*] (Ⅱ)由式(1．3．5．2)得到 S1=∫012π．y[*]dx=2π∫01[*]=2π． 由y=(1一x2/3)3/2得到 (y′)2=[*]=1． 于是[*]，则 S2=2π∫01y[*]dt=2π∫01(1一x2/3)3/2·x1/3dx =2π∫π/20sin3t cos-1t·3 cos2t(—sint)dt =6π∫0π/2sin4tcostdt=6π∫0π/2sin4tdsint =6π[*] 故D绕x轴旋转一周所得的表面积为S=S1+S2=2π+[*].
解析
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考研数学二

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