2. 考研
  3. 设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数，在(a,b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b),证明：存在ξi∈(a,b)(i=1,2,..,n)，使得.

设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数，在(a,b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b),证明：存在ξi∈(a,b)(i=1,2,..,n)，使得.

admin2021-11-25  106
问题 设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数，在(a,b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b),证明：存在ξi∈(a,b)(i=1,2,..,n)，使得.
选项
答案令[*]，因为f(x)在[a,b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b), 所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n－1)h＜b=f(b),由端点介值定理和函数单调性可知， 存在a＜c1＜c2＜…＜n-1＜b,使得 f(c1)=a+h,f(c2)=a+2h,…,f(cn-1)=a+(n－1)h，再由微分中值定理，得 f(c1）－f(a)=f’(ξ1)(c1－a),ξ1∈(a,c1) f(c2）－f(c1)=f’(ξ2)(c2－c1),ξ2∈(c1,c2),... f(b)－f(cn-1)=f’(ξn)(b－cn-1),ξn∈(cn-1,b) 从而有[*]
解析
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考研数学二

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