设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a<b=f(b),证明:存在ξi∈(a,b)(i=1,2,..,n),使得.

admin2021-11-25  63

问题 设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数,在(a,b)内可导,且f(a)=a<b=f(b),证明:存在ξi∈(a,b)(i=1,2,..,n),使得.

选项

答案令[*],因为f(x)在[a,b]上连续且单调增加,且f(a)=a<b=f(b), 所以f(a)=a<a+h<…<a+(n-1)h<b=f(b),由端点介值定理和函数单调性可知, 存在a<c1<c2<…<n-1<b,使得 f(c1)=a+h,f(c2)=a+2h,…,f(cn-1)=a+(n-1)h,再由微分中值定理,得 f(c1)-f(a)=f’(ξ1)(c1-a),ξ1∈(a,c1) f(c2)-f(c1)=f’(ξ2)(c2-c1),ξ2∈(c1,c2),... f(b)-f(cn-1)=f’(ξn)(b-cn-1),ξn∈(cn-1,b) 从而有[*]

解析
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