2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中： ①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆； ④A－E恒可逆． 正确的个数为 ( )

设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中： ①若A可逆，则B可逆； ②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆； ④A－E恒可逆． 正确的个数为 ( )

admin2019-01-06  43
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：
①若A可逆，则B可逆；    ②若A+B可逆，则B可逆；
③若B可逆，则A+B可逆；    ④A－E恒可逆．
正确的个数为    (  )
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 由于(A－E)B=A，可知当A可逆时，｜A－E｜｜B｜≠0，故｜B｜≠0，因此B可逆，可知①是正确的．
当A+B可逆时，｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，故｜B｜≠0，因此B可逆，可知②是正确的．
类似地，当B可逆时，A可逆，故｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③是正确的．
最后，由AB=A+B可知(A－E)B－A=O，也即(A－E)B－(A－E)=E，进一步有(A－E)(B－E)=E，故A－E恒可逆．可知④也是正确的．
综上，4个命题都是正确的，故选(D)．
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考研数学三

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