微分方程y″—4y′=2cos22x的特解可设为

admin2020-07-03 71

问题微分方程y″—4y′=2cos²2x的特解可设为

选项 A、Ax+B₁cos4x+B₂sin4x
B、A+B₁cos4x+B₂sin4x
C、B₁cos²2x+B₂sin²2x
D、B₁cos4x+B₂sin4x

答案A

解析方程右端的非齐次项
f(x)=2cos²2x=1+cos4x，
相应齐次方程的特征方程是
λ²—4λ=0．
特征根λ₁=0，λ₂=4．
利用解的叠加原理：相应于非齐次项f₁(x)=1，有形式为y₁^*(x)=Ax(λ₁=0为单特征根)的特解，A为待定常数；相应于非齐次项f₂(x)=cos4x，有形式为y₂^*(x)=B₁cos4x+B₂sin4x的特解，B₁，B₂为待定常数．因此，原方程的特解可设为
Ax+B₁cos4x+B₂sin4x．
故应选A．

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