试证当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．

admin2021-02-25 35

问题试证当x＞0时，(x²-1)lnx≥(x-1)²．

选项

答案设f(x)=(x²-1)lnx-(x-1)²，则f(x)=0， [*] 令f”’(x)=0，则x=1．当0＜x＜1时，f”’(x)＜0，当x＞1时，f”’(x)＞0，因此f”(1)=2是f”(x)的最小值．f”(x)≥f”(1)＞0，因此曲线y=f(x)在(0，+∞)上为凹的．又由f’(1)=0，知f(1)=0为函数f(x)的最小值．因此，当x＞0时，f(x)＞0，即 (x²-1)lnx≥(x-1)²．

解析

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