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已知A是三阶矩阵,a1,a2,a3是线性无关的三维列向量,满足 (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求矩阵A的特征向量; (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩.
已知A是三阶矩阵,a1,a2,a3是线性无关的三维列向量,满足 (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求矩阵A的特征向量; (Ⅲ)求矩阵A*一6E的秩.
admin
2019-07-28
66
问题
已知A是三阶矩阵,a
1
,a
2
,a
3
是线性无关的三维列向量,满足
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求矩阵A的特征向量;
(Ⅲ)求矩阵A
*
一6E的秩.
选项
答案
求特征值既可用特征多项式求之,也可根据相似矩阵有相同的特征值求之.特征向量既可用解齐次方程组(λ
i
E一A)X=0求之,也可用P
-1
AP=A求之,其中P的各个列向量就是A的特征值所对应的特征向量. 解 (Ⅰ)据已知条件,有 A[α
1
,α
2
,α
3
]=[—α
1
—3α
2
—3α
3
,4α
1
+4α
2
+α
3
,一2α
1
+3α
3
] [*] 那么由α
1
,α
2
,α
3
线性无关知,矩阵P
1
=[α
1
,α
2
,α
3
]可逆,且P
1
-1
AP
1
=B,即A与B相似.由矩阵B的特征多项式 [*] 得矩阵B的特征值为1,2,3,从而矩阵A的特征值也是1,2,3. (Ⅱ)由(E—B)x=0得基础解系 β
1
=[1,1,1]
T
, 即为矩阵B属于特征值λ=1的特征向量;由(2E—B)x=0得基础解系 β
2
=[2,3,3]
T
, 即为矩阵B属于特征值λ=2的特征向量;由(3E—B)x=0得基础解系 β
3
=[1,3,4]
T
, 即为矩阵B属于特征值λ=3的特征向量. 那么令P
2
=[β
1
,β
2
,β
3
],则有P
2
-1
BP
2
=[*].于是令 [*] =[α
1
+α
2
+α
3
,2α
1
+3α
2
+3α
3
,α
1
+3α
2
+4α
3
], 则有P
-1
AP=(P
1
P
2
)
-1
A(P
1
P
2
)=P
2
-1
(P
1
-1
AP
1
)P
2
[*] 故矩阵A属于特征值1,2,3的线性无关的特征向量依次为 k
1
(α
1
+α
2
+α
3
), k
2
(2α
1
+3α
2
+3α
3
), k
3
(α
1
+3α
2
+4α
3
), 其中k
1
,k
2
,k
3
≠0. (Ⅲ)由[*]及∣A∣=6知, [*] 从而 [*] 所以秩(A
*
一6E)=2.
解析
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考研数学二
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