2. 考研
  3. 下列命题中 ①如果矩阵AB=E，则A可逆且A—1=B； ②如果n阶矩阵A，B满足（AB）2=E，则（BA）2=E； ③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆； ④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。 正确的是（ ）

下列命题中 ①如果矩阵AB=E，则A可逆且A—1=B； ②如果n阶矩阵A，B满足（AB）2=E，则（BA）2=E； ③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆； ④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。 正确的是（ ）

admin2017-12-29  27
问题 下列命题中
①如果矩阵AB=E，则A可逆且A—1=B；
②如果n阶矩阵A，B满足（AB）2=E，则（BA）2=E；
③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；
④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。
正确的是（     ）
选项 A、①②
B、①④
C、②③
D、②④
答案D
解析 如果A、B均为n阶矩阵，命题①当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故①不正确。
例如

显然A不可逆。
若A、B为n阶矩阵，（AB）2=E，即（AB）（AB）=E，则可知A、B均可逆，于是ABA=B—1，从而BABA=E，即（BA）2=E。因此②正确。
若设

显然A、B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正确。
由于A、B为均n阶不可逆矩阵，知|A|=|B|=0，且结合行列式乘法公式，有|AB|=|A||B|=0，故AB必不可逆。因此④正确。
所以应选D。
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考研数学三

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