设A为n阶矩阵，证明：r(A)＝1的充分必要条件是存在n维非零列向量a，β，使得A＝aβT．

admin2019-11-25 58

问题设A为n阶矩阵，证明：r(A)＝1的充分必要条件是存在n维非零列向量a，β，使得A＝aβ^T．

选项

答案设r(A)＝1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，令A＝[*]，于是A＝[*](b₁ b₁…b_n)，令α＝[*]，β＝[*]，故A＝αβ^T，显然α，β为非零向量．设A＝αβ^T，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)＝r(αβ^T)≤r(α)＝1，故r(A)＝1．

解析

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考研数学三

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