2. 考研
  3. 设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (2)设α1=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (2)设α1=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

admin2019-05-14  42
问题 设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．
(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；
(2)设α1=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．
选项
答案(1)因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得 k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=—l1β1—l2β2． 令γ=k1α1+k2α2=—l1β1—l2β2，因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都 不全为零，所以γ≠0． (2)令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0， [*] 所以γ=kα1—3kα2=一kβ1+0β2．
解析
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考研数学一

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