设L为柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线,从z轴正向看为逆时针方向,则I=∮Lxzdx+xdy+dz=________.

admin2022-07-21  33

问题 设L为柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线,从z轴正向看为逆时针方向,则I=∮Lxzdx+xdy+dz=________.

选项

答案π

解析 方法一    圆柱面x2+y2=1被平面z=x+y所截的截面取上侧,法向量n={-1,-1,1)的方向余弦为
   
    由斯托克斯公式可得
    其中Dxy:x2+y2≤1,由Dxy的对称性得
   
    方法二    按曲线积分计算,曲线L的参数方程为
   
    故    I=∫0[cost(cost+sint)(-sint)+costcost+sin2t(-sint+cost)]dt
    =∫0cos2tdt=π
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