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考研
已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（ ）
已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（ ）
admin
2019-03-11
55
问题
已知向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，则向量组（ ）
选项
A、α
1
一α
2
，α
2
一α
3
，α
3
一α
4
，α
4
一α
1
线性无关
B、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
+α
1
线性无关
C、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
一α
1
线性无关
D、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
一α
4
，α
4
一α
1
线性无关
答案
C
解析
因向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，所以由向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
到向量组α
1
+α
2
，α
2
+
α
3
，α
3
+α
4
，α
4
一α
1
的过渡矩阵
即
（α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
一α
1
）=（α
1
，α
2
，α
3
，α
4
）A。
由于|A|=2≠0，所以过渡矩阵A可逆，故向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
一α
1
线性无关。所以选C。
类似地，可以判断其他三个选项中的过渡矩阵均不可逆，所以选项A，B，D中的向量组均线性相关。
排除法
通过观察可知
（α
1
一α
2
）+（α
2
一α
3
）+（α
3
一α
4
）+（α
4
一α
1
）=0，
（α
1
+α
2
）一（α
2
+α
3
）+（α
3
+α
4
）一（α
4
+α
1
）=0，
（α
1
+α
2
）一（α
2
+α
3
）+（α
3
一α
4
）+（α
4
一α
1
）=0，
即选项A，B，D中的向量组均线性相关，所以选C。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9PP4777K
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考研数学三
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