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已知A=(α1,α2,α3,α4)是四阶矩阵,α1,α2,α3,α4是四维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,又B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=3α1+5α2-α3的通解。
已知A=(α1,α2,α3,α4)是四阶矩阵,α1,α2,α3,α4是四维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,又B=(α3,α2,α1,β-α4),求方程组Bx=3α1+5α2-α3的通解。
admin
2018-01-26
56
问题
已知A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)是四阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是四维列向量,若方程组Ax=β的通解是(1,2,2,1)
T
+k(1,-2,4,0)
T
,又B=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
),求方程组Bx=3α
1
+5α
2
-α
3
的通解。
选项
答案
由方程组Ax=β的通解表达式可知 R(A)=R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=4-1=3, 且α
1
+2α
2
+2α
3
+α
4
=β,α
1
-2α
2
+4α
3
=0, 则B=(α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
)=(α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
),且α
1
,α
2
,α
3
线性相关,故R(B)=2。 又因为 (α
3
,α
2
,α
1
,β-α
4
)[*]=3α
1
+5α
2
-α
3
, 故知(-1,5,3,0)
T
是方程组Bx=3α
1
+5α
2
-α
3
的一个解。 (α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)[*]=4α
3
-2α
2
+α
1
=0, (α
3
,α
2
,α
1
,α
1
+2α
2
+2α
3
)[*]=α
1
-2α
2
+4α
3
=0, 所以(4,-2,1,0)
T
,(2,-4,0,1)
T
是Bx=0的两个线性无关的解。 故Bx=3α
1
+5α
2
-α
3
的通解为 (-1,5,3,0)
T
+k
1
(4,-2,1,0)
T
+k
2
(2,-4,0,1)
T
其中k
1
,k
2
是任意常数。
解析
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考研数学一
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